Érettségi vizsga - részletes követelmények

Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg:

középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell megkövetelni, ami elsősorban a matematikai fogalmak, tételek gyakorlati helyzetekben való ismeretét és alkalmazását jelenti;

az emelt szint tartalmazza a középszint követelményeit, de az azonos módon megfogalmazott követelmények körében az emelt szinten nehezebb, több ötletet igénylő feladatok szerepelnek. Ezen túlmenően az emelt szint követelményei között speciális anyagrészek is találhatók, mivel emelt szinten elsősorban a felsőoktatásban matematikát használó, illetve tanuló diákok felkészítése történik.

A) KOMPETENCIÁK

Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

- Legyen képes a tanuló adott szövegben rejlő matematikai problémákat észrevenni, szükség esetén matematikai modellt alkotni, a modell alapján számításokat végezni, és a kapott eredményeket értelmezni.

- Legyen képes kijelentéseket szabatosan megfogalmazni, azokat összekapcsolni, kijelentések igazságtartalmát megállapítani.

- Lássa az eltéréseket, illetve a kapcsolatokat a matematikai és a mindennapi nyelv között.

- A matematika minden területén és más tantárgyakban is tudja alkalmazni a halmaz fogalmát, illetve a halmazműveleteket.

- Legyen jártas alapvető kombinatorikus gondolatmenetek alkalmazásában, s legyen képes ennek segítségével gyakorlati sorbarendezési és kiválasztási feladatok megoldására.

- Ismerje a gráfok jelentőségét, sokoldalú felhasználhatóságuk néhány területét, és legyen képes további felhasználási lehetőségek felismerésére a gyakorlati életben és más tudományágakban.

- Az emelt szinten érettségiző diák ismerje a halmazelmélet alapvető szerepét a mai matematika felépítésében.

Számelmélet, algebra

- Legyen képes a tanuló betűs kifejezések értelmezésére, ismerje fel használatuk szükségességét, tudja azokat kezelni, lássa, hogy mi van a „betűk mögött”.

- Ismerje az egyenlet és az egyenlőtlenség fogalmát, megoldási módszereit (pl. algebrai, grafikus, közelítő).

- Legyen képes egy adott probléma megoldására felírni egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenlőtlenségeket, egyenlőtlenség-rendszereket.

- Tudja az eredményeket előre megbecsülni, állapítsa meg, hogy a kapott eredmény reális-e.

- Az emelt szinten érettségiző diáknak legyen jártassága az összetettebb algebrai átalakításokat igénylő feladatok megoldásában is.

Függvények, az analízis elemei

- Legyen képes a tanuló a körülötte levő világ egyszerűbb összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, ezek elemzéséből tudjon következtetni valóságos jelenségek várható lefolyására.

- Legyen képes a változó mennyiségek közötti kapcsolat felismerésére, a függés értelmezésére. Értse, hogy a függvény matematikai fogalom, két halmaz elemeinek egymáshoz rendelése. Ismerje fel a hozzárendelés formáját, elemezze a halmazok közötti kapcsolatokat.

- Lássa, hogy a sorozat diszkrét folyamatok megjelenítésére alkalmas matematikai eszköz, a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény. Ismerje a számtani és mértani sorozatot.

- Az emelt szinten érettségiző diák ismerje az analízis néhány alapelemét, amelyekre más szaktudományokban is (pl. fizika) szüksége lehet. Ezek segítségével tudjon függvényvizsgálatokat végezni, szélsőértéket, görbe alatti területet számolni.

Geometria, koordinátageometria, trigonometria

- Tudjon a tanuló síkban, illetve térben tájékozódni, térbeli viszonyokat elképzelni, tudja a háromdimenziós valóságot - alkalmas síkmetszetekkel - két dimenzióban vizsgálni.

- Vegye észre a szimmetriákat, tudja ezek egyszerűsítő hatásait problémák megfogalmazásában, bizonyításokban, számításokban kihasználni.

- Tudjon a feladatok megoldásához megfelelő ábrát készíteni.

- Tudjon mérni és számolni hosszúságot, területet, felszínt, térfogatot, legyen tisztában a mérési pontosság fogalmával.

- Ismerje a geometria szerepét a műszaki életben és bizonyos képzőművészeti alkotásokban.

- Az emelt szinten érettségiző diák tudja szabatosan megfogalmazni a geometriai bizonyítások gondolatmenetét.

Valószínűségszámítás, statisztika

- Értse a tanuló a statisztikai kijelentések és gondolatmenetek sajátos természetét.

- Ismerje a statisztikai állítások igazolására felhasználható adatok gyűjtésének lehetséges formáit, és legyen jártas a kapott adatok áttekinthető szemléltetésében, különböző statisztikai mutatókkal való jellemzésében.

- Az emelt szinten érettségiző diák tudjon egyszerűbb véletlenszerű jelenségeket modellezni és a valószínűségi modellben számításokat végezni.

- Emelt szinten ismerje a véletlen szerepét egyszerű statisztikai mintavételi eljárásokban.

B) VIZSGAKÖVETELMÉNYEK

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

E témakört (különösen a gondolkodási módszereket, a halmazokat és a matematikai logikát) elsősorban nem önállóan számon kérhető ismeretanyagként kell elképzelni, hanem olyan szemléletformáló, a matematikaoktatás egészét átszövő módszerek, illetve eszközök összességeként, amely szinte teljes egészében megjelenik minden további témakörben is.

TÉMÁK

VIZSGASZINTEK
  Középszint Emelt szint
1.1. Halmazok Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát.  
  Definiálja és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő fogalmakat: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz.  
1.1.1. Halmazműveletek Ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő műveleteket: egyesítés, metszet, különbség.  
  Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat.  
1.1.2. Számosság, részhalmazok Véges halmazok elemeinek száma. Ismerjen példát véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen halmazra.
1.2. Matematikai logika Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit.
  Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát.  
  Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet.  
  Ismerje az „és”, a „(megengedő) vagy” logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel.  
  Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát.  
  Használja helyesen a „minden”, „van olyan” kvantorokat.  
1.2.1. Fogalmak, tételek és bizonyítások a matematikában Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Ismerje az alábbi bizonyítási típusokat és tudjon példát mondani alkalmazásukra: direkt és indirekt bizonyítás, skatulyaelv.
  Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a „szükséges”, az „elégséges” és a „szükséges és elégséges” feltétel fogalmát. Tudja megfogalmazni konkrét esetekben tételek megfordítását.
1.3. Kombinatorika Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismétlés nélkül) kiszámítására vonatkozó képleteket.
  Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat. Ismerje és alkalmazza a binomiális tételt.
1.4. Gráfok Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni, és egyszerű feladatokat megoldani gráfok segítségével. Definiálja a következő fogalmakat: pont, él, fok, út, kör, összefüggő gráf, fa. Ismerje az egyszerű gráf pontjainak foka és éleinek száma, valamint a fa pontjai és élei száma közötti összefüggést.

2. Számelmélet, algebra

Az algebra tanításának egyik fő célja annak felfedeztetése és megértetése, hogy egymástól távol állónak tűnő problémák ugyanazon matematikai, algebrai struktúrával rendelkeznek, ezért megoldásuk során hasonló eljárásokat, gondolatmeneteket alkalmazhatunk, s leírásuk formálisan azonos módon történik. (Például különböző témakörökből vett másodfokú egyenletre vezető feladatok.)

Fontos a számolás során megismert műveleti szabályok absztrahálása, a jártasság megszerzése a betűkifejezésekkel végzett műveletekben. Meg kell mutatni a számfogalom bővítésének szükségességét és folyamatát. El kell juttatni a tanulókat a permanencia-elv fontosságának felismeréséhez.

TÉMÁK VIZSGASZINTEK
  Középszint Emelt szint
2.1. Alapműveletek Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is).  
  Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás).  
2.2. A természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám).  
  Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani; tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni.  
  Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat.  
  Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban. Tudja pontosan megfogalmazni a számelmélet alaptételét.
2.2.1. Oszthatóság Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani. Oszthatósági feladatok.
2.2.2. Számrendszerek Tudjon más számrendszerek létezéséről.  
  Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont. Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből n alapú számrendszerbe és viszont.
  Helyiértékes írásmód.  
2.3. Racionális és irracionális számok Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Bizonyítsa, hogy √2 irracionális szám.
  Adott n (nN) esetén tudja eldönteni, hogy √n irracionális szám-e.  
2.4. Valós számok Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q*, R), valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudja, hogy mit értünk adott műveletekre zárt számhalmazokon.
  Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen.  
  Tudja az abszolútérték definícióját.  
  Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal.  
2.5. Hatvány, gyök, logaritmus A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Permanencia elv.
    Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen.
  Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén.
  Definiálja és használja az n√a fogalmát.  
  Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Bizonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait.
  Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Bizonyítsa a logaritmus azonosságait.
2.6. Betűkifejezések Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját.  
2.6.1. Nevezetes azonosságok Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b)2; (a - b)2; (a + b)3; (a - b)3; a2 - b2; a3 - b3; Tudja alkalmazni feladatokban az an-bn, illetve az a2m+1 + b2m+1 kifejezés szorzattá alakítását.
  Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása).  
2.7. Arányosság Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat.  
  Tudjon arányossági feladatokat megoldani.  
2.7.1. Százalékszámítás Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása.  
2.8. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb.  
2.8.1. Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket megoldani. Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása. Tudjon paraméteres elsőfokú egyenleteket megoldani. Két- és háromismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerek megoldása.
  Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában. Egyszerű kétismeretlenes lineáris paraméteres egyenletrendszer megoldása.
Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát.  
  Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét.
  Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét.  
  Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Igazolja és alkalmazza a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket.
  Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Másodfokú paraméteres feladatok megoldása.
  Másodfokú egyenletrendszerek megoldása.  
Magasabb fokú egyenletek Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Tudjon másodfokúra visszavezethető egyenletrendszereket megoldani.
    Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható feladatok, összetett feladatok megoldása.
Négyzetgyökös egyenletek Tudjon √ax + b= cx + d típusú egyenleteket megoldani. Tudjon két négyzetre emeléssel megoldható egyenleteket megoldani.
2.8.2. Nem algebrai egyenletek    
Abszolútértékes egyenletek Tudjon |ax + b| = c típusú egyenleteket algebrai és grafikus módon, valamint |ax+ b| = cx + d típusú egyenleteket megoldani. Abszolútértékes egyenletek algebrai megoldása.
Exponenciális és logaritmikus egyenletek Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani.  
Trigonometrikus egyenletek Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani.  
2.8.3. Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek Ismerje az egyenlőtlenségek alaptulajdonságait (mérlegelv alkalmazása). Tudjon megoldani összetett feladatokat.
  Egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. Tudjon egyszerű négyzetgyökös, abszolútértékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségeket megoldani.
2.9. Középértékek, egyenlőtlenségek Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk, használatuk. Ismerje a szám számított középértékeit (aritmetikai, geometriai, négyzetes, harmonikus), valamint a nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételeket.
    Bizonyítsa, hogy képlet a + b/2 ≥ √ab, ha a, bR+.
    Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján.

3. Függvények, az analízis elemei

A témakör (hasonlóan a geometria, illetve a valószínűség-számítás, statisztika fejezetekhez) különösen alkalmas annak szemléltetésére, hogy egy probléma matematikai megoldása három lépésben történik: a matematikai modell megalkotása, a matematikai feladat megoldása a modellen belül, és az eredmény értelmezése. Fontos terület a függvényábrázolás alkalmazása egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

TÉMÁK VIZSGASZINTEK
  Középszint Emelt szint
3.1. A függvény A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet) Tudja az alapvető függvénytani fogalmak pontos definícióját.
  Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Ismerje és alkalmazza a függvények megszorításának (leszűkítésének) és kiterjesztésének fogalmát.
  Tudjon helyettesítési értéket számítani, illetve tudja egyszerű függvények esetén f(x) = c alapján az x-et meghatározni.  
  Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát.  
  Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál.  
    Összetett függvény fogalma.
  Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése (pl. az exponenciális és a logaritmus függvény vagy a geometriai transzformációk).  
3.2. Egyváltozós valós függvények Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: Ismerje és tudja ábrázolni az x → xn; nN függvényt.
  x → ax + b; x → x2; x → x3; x → ax2 + bx + c; x → √x; x →|x|; x → a/x; x → sin x; x → cos x; x → tg x; x → ax; x → log a x. Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezni.
3.2.1. A függvények grafikonja, függvénytranszformációk Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról.  
  Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [(x) + c; (x + c); c · (x); (xc)] Tudja ábrázolni az alapvető függvények (3.2.) transzformáltjainak grafikonját [c · (ax + b) + d]
3.2.2. A függvények jellemzése Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás szempontjából. Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg.
    Használja a konvexség és konkávság fogalmát a függvények jellemzésére.
    Egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok megoldása.
3.3. Sorozatok Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait. Sorozat jellemzése (korlátosság, monotonitás), a konvergencia szemléletes fogalma.
    Egyszerű rekurzív képlettel megadott sorozatok.
3.3.1. Számtani és mértani soroztok Tudjon olyan feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből, ahol a számtani, illetve mértani sorozat fogalmát és az an-re, illetve az Sn-re vonatkozó összefüggéseket kell használni. Bizonyítsa a számtani és a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggéseket, valamint az összegképleteket.
Végtelen mértani sor   Ismerje a végtelen mértani sor fogalmát, összegét.
3.3.2. Kamatos kamat, járadékszámítás Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot kiszámolni. Tudjon gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet számolni.

4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria

A témakör követelményeit abban a tudatban kell megfogalmaznunk, hogy a geometria szerepe, funkciója, hangsúlyai sokat változtak az elmúlt évtizedekben. Ennek következtében a szintetikus geometria egyes területeken háttérbe szorult. Szem előtt kell tartani ugyanakkor, hogy a geometria oktatása segíti a pontos fogalomalkotást, a struktúraalkotás képességét és fejleszti a térszemléletet.

TÉMÁK VIZSGASZINTEK
  Középszint Emelt szint
4.1. Elemi geometria Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát.  
4.1.1. Térelemek Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát.  
  Ismerje a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat.  
  Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat. Alakzatok távolságának értelmezése.
4.1.2. A távolságfogalom segítségével definiált ponthalmazok Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Parabola fogalma.
  Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban.  
4.2. Geometriai transzformációk   A geometriai transzformáció mint függvény.
4.2.1. Egybevágósági transzformációk    
Síkban Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Tudja pontosan megfogalmazni az egybevágósági transzformációk definícióit, a síkidomok egybevágóságának fogalmát, valamint a sokszögek egybevágóságának elégséges feltételét.
  Alkalmazza a feladatokban az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációkat. Pont körüli forgatás alkalmazása.
  Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben.  
  Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit.  
  Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.  
Térben   Ismerje és alkalmazza a térbeli egybevágósági transzformációkat (eltolás, tengely körüli forgatás, pontra vonatkozó tükrözés, síkra vonatkozó tükrözés).
4.2.2. Hasonlósági transzformációk Ismerje a transzformációk leírását, tulajdonságait, alkalmazza azokat. Ismerje a hasonlósági transzformáció definícióját.
  Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban.  
  Szakasz adott arányú felosztása.  
  Hasonló alakzatok felismerése, (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei) alkalmazása, arány felírása.  
  Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket.  
4.2.3. Egyéb transzformációk   Tudja a merőleges vetítés definícióját, tulajdonságait.
Merőleges vetítés   Legyen képes gyakorlati példákban alkalmazni (pl. alaprajz értelmezése)
4.3. Síkbeli és térbeli alakzatok Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint.  
4.3.1. Síkbeli alakzatok    
Háromszögek Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint.  
  Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van).  
  Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait.  
  Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Bizonyítsa a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó tételeket (körülírt és beírt kör középpontja; magasságpont, súlypont, középvonal tulajdonságai).
  Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban.  
  Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Bizonyítsa a Pitagorasz-tételt és megfordítását.
  Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt. Bizonyítsa a magasság- és a befogótételt.
Négyszögek Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat, alkalmazza ismereteit egyszerű feladatokban.  
  Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Húrnégyszög, érintőnégyszög tételének ismerete (bizonyítással) és alkalmazása.
Sokszögek Ismerje és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. A konvex sokszög átlóinak száma, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tétel bizonyítása.
  Tudja a szabályos sokszögek definícióját.  
Kör A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban.  
  Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Bizonyítsa, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, valamint hogy a külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak.
  A szög mérése fokban és radiánban. Igazolja és alkalmazza feladatokban a kerületi és középponti szögek tételét.
  Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. Ismerje és használja a látókör fogalmát.
  Tudja és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását. Bizonyítsa a Thalész-tételt és megfordítását.
4.3.2. Térbeli alakzatok Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban.  
4.4. Vektorok síkban és térben Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket:  
  - vektor fogalma, abszolútértéke,  
  - nullvektor, ellentett vektor,  
  - vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa,  
  - vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok,  
  - vektor felbontása összetevőkre.  
  Skaláris szorzat definíciója; tulajdonságai.  
  Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket:  
  - vektor koordinátái,  
  - a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái,  
  - vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái,  
  - skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. A skalárszorzat koordinátákból való kiszámításának bizonyítása.
  Vektorok alkalmazása feladatokban.  
4.5. Trigonometria Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban.  
  Tudja a szögfüggvények általános definícióját.  
  Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés.  
  Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból.
  Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós összefüggéseket [sin (α ± β), cos (α ± β), tg (α ± β)].
  Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Bizonyítsa a szinusz- és a koszinusztételt.
  Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.  
4.6. Koordinátageometria                → Tudja AB vektor koordinátáit, abszolútértékét.  
4.6.1. Pontok, vektorok Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatokban. Szakasz felezőpontja és harmadoló pontjai koordinátáinak kiszámítására vonatkozó összefüggések igazolása.
  A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása, alkalmazása feladatokban. Igazolja a háromszög súlypontjának koordinátáira vonatkozó összefüggést.
4.6.2. Egyenes Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása. Az egyenes egyenletének levezetése különböző kiindulási adatokból a síkban.
  Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit.  
  Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel.  
4.6.3. Kör Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. A kör egyenletének levezetése.
  Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolata.
  Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. Két kör kölcsönös helyzetének meghatározása, metszéspontjainak felírása.
  A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Külső pontból húzott érintő egyenletének felírása.
  Alkalmazza ismereteit feladatokban.  
4.6.4. Parabola   A parabola x2 = 2pyalakú egyenletének levezetése.
    Feladatok a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolákra.
4.7. Kerület, terület Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát.  
  Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból: t= a · ma/2; t = ab sin γ/2. A háromszög területének kiszámítására használt képletek bizonyítása, további összefüggések: t = sr (bizonyítással), t = √ s (s - a)(s - b)(s - c) alkalmazása.
  Nevezetes négyszögek területének számítása.  
  Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása.  
  Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. A területképletek bizonyítása.
  Kerület- és területszámítási feladatok.  
4.8. Felszín, térfogat Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Térgeometriai feladatok megoldása.
  Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel.  

5. Valószínűségszámítás, statisztika

A modern tudományelmélet egyik fontos pillére az a gondolkodásmód, amellyel a sztochasztikus jelenségek leírhatók. A társadalomtudományi, a természettudományi és a közgazdasági törvényeink nagy része csak statisztikusan igaz. A mindennapi élet történéseit sem lehet megérteni statisztikai ismeretek nélkül, mivel ott is egyre gyakrabban olyan tömegjelenségekkel kerülünk szembe, amelyek a statisztika eszközeivel kezelhetők. A sztochasztika gondolkodásmódja a XXI. század elejére az emberi gondolkodásnak, döntéseknek és cselekvéseknek olyannyira alapvető része lesz, hogy elsajátítása semmiképpen sem kerülhető meg.

Ebben a témakörben középszinten csak az alapfogalmak megértését és használatát követeljük meg, míg emelt szinten a téma matematikai felépítésének egyes részeiről is számot kell adni. E fejezet követelményrendszere két ellentétes tendencia közötti kompromisszum jegyében született, mely szerint alapvető társadalmi szükség mutatkozik a téma iránt, miközben a tanításban elfoglalt helye ma még igencsak periférikus.

TÉMÁK VIZSGASZINTEK
  Középszint Emelt szint
5.1. Leíró statisztika Tudjon adott adathalmazt szemléltetni.  
5.1.1. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni.  
  Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát.  
  Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon hisztogramot készíteni, és adott hisztogramról információt kiolvasni.
  Tudjon adott diagramról információt kiolvasni.  
  Tudja és alkalmazza a következő fogalmakat: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság.  
5.1.2. Nagy adathalmazok jellemzői, statisztikai mutatók Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: Ismerje az adathalmazok egyesítése és átlaguk közötti kapcsolatot.
  - aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép),  
  - medián (rendezett minta közepe),  
  - módusz (leggyakoribb érték).  
  Ismerje és használja a következő fogalmakat: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás.  
  Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel.  
  Tudjon adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével.  
5.2. A valószínűségszámítás elemei Véges sok kimenetel esetén szimmetriamegfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban.  
  Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége, feltételes valószínűség, függetlenség, függőség.
  A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma
  Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. (nagyobb n-ekre valószínűbb, hogy |k/n - p| < δ).
    Geometriai valószínűség.
  Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása.
    Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén.
    A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében.